La relación entre proposiciones

Dos proposiciones que sólo se diferencian por la forma pueden compararse entre sí según tres puntos de vista: la oposición, la conversión y la equivalencia.

En razón de la cantidad o extensión, las proposiciones pueden ser universales o particulares, y en razón de la cualidad pueden ser afirmativas o negativas. Para distinguirlas fácilmente se les asignan vocales específicas:

Afirmativas A(ff)I(rmo):
A.- Universal: Todos los ratones son roedores.
I.- Particular: Algún ratón es roedor.

Negativas (n)E(g)O:
E.- Universal: Ningún ratón es roedor.
O.- Particular: Algún ratón no es roedor.

Oposición.

Es la relación que hay entre ellas cuando, teniendo un mismo sujeto y un mismo predicado, difieren, no obstante, en cantidad, en cualidad o en ambas cosas a la vez.

Los casos de oposición son cuatro:

  1. Diferencia de cualidad y de cantidad. Se da entre dos proposiciones, una de las cuales es universal afirmativa y la otra particular negativa (A y O), o una universal afirmativa y la otra particular negativa, E e I. En estos casos se llaman contradictorias.
  2. Diferencia de cualidad entre proposiciones universales. Se da entre universales afirmativa y negativa, A y E. Entonces se llaman contrarias.
  3. Diferencia de cualidad entre proposiciones particulares. Se da entre las particulares afirmativa y negativa, I y O. Se llaman subcontrarias.
  4. Diferencia de cantidad entre proposiciones que tienen una misma cualidad. Se da entre la universal afirmativa y la particular afirmativa, A e I, o entre la universal negativa y la particular negativa, E y O. Se llaman entonces subalternas.

La oposición de las contradictorias es total, por lo que excluye todo término medio. La de las contrarias, por ser excesiva, no lo excluye. La de las subcontrarias lo es por defecto. Y entre las subalternas no hay oposición, sino subordinación de la particular, que recibe el nombre de subalternada, a la general, que se llama subalternante.

Para comprender fácilmente estos casos de relación entre proposiciones, estúdiese el cuadro siguiente, que muestra todas las oposiciones posibles:

Del que se extraen las siguientes oposiciones entre proposiciones:

  1. Las contradictorias no pueden ser a un tiempo verdaderas ni falsas. Por eso de la verdad de una se infiere la falsedad de la otra, y viceversa.
  2. Las contrarias no pueden ser a un tiempo verdaderas, pero sí falsas. Por eso de la falsedad de una se infiere la verdad de la otra, mas no viceversa.
  3. Las subcontrarias no pueden ser falsas a un tiempo, pero sí verdaderas. Por eso de la falsedad de una se colige la verdad de la otra.
  4. Las subalternas pueden ser a un tiempo verdaderas o falsas, pero no necesariamente, pues de la verdad de la universal se sigue la verdad de la particular, pero no al contrario, y de la falsedad de la particular se sigue la falsedad de la universal, pero no al contrario.

Conversión.

Es el cambio de lugar entre sujeto y predicado, de tal manera que se forma una proposición nueva e igualmente verdadera.

Hay tres clases de conversión:

1.- Simple. Sujeto y predicado cambian de lugar, pero conservan la cantidad o extensión:

E.- La proposición universal negativa se convierte simpliciter en otra universal negativa. Véase:

Ningún gas es metal.
Ningún metal es gas.

O bien:

Ningún astrólogo es lógico.
Ningún lógico es astrólogo.

I.- La proposición particular afirmativa también se convierte simpliciter en otra particular afirmativa:

Algunos árboles son manzanos.
Algunos manzanos son árboles.

2.- Por accidente o limitación.

E.- Sólo cambia el predicado, que, de universal que era, pasa a ser particular al ocupar el lugar del sujeto. La cualidad, sin embargo, se mantiene:

Ningún espiritista es filósofo.
Algún filósofo no es espiritista.

A:- Lo mismo le sucede a la universal afirmativa, que se convierte per accidens en particular afirmativa, sin cambiar la cualidad:

Todos los metales son cuerpos simples.
Algunos cuerpos simples son metales.

O bien:

Todo tigre es felino.
Algún felino es tigre.

3.- Por contraposición o negación. Sujeto y predicado se convierten anteponiendo una negación a cada uno de los términos invertidos, lo que puede hacerlos indefinidos.

A.- La universal afirmativa se convierte per contrapositionem  en otra universal afirmativa: anteponiendo una negación al sujeto, otra al predicado y transponiéndolos después.

Todos los metales son cuerpos simples.
(Todos los no metales son cuerpos no simples).
Todos los cuerpos no simples son no metales.

O bien:

Todo filósofo es racional.
(Todo el que no es filósofo es irracional).
Todo ser irracional es no-filósofo.

O.- La particular negativa se convierte per contrapositionem en particular negativa. Se debe pasar la negación de la cópula al predicado y convertir después simpliciter la proposición así obtenida. Véase:

Algún metal no es cuerpo sólido.
(Algún metal es cuerpo no sólido).
Algún cuerpo no sólido es metal.

O bien:

Algún libro no es plomo.
(Algún libro es cuerpo no plúmbeo)
Algún cuerpo no plúmbeo es libro.

Dos versos se utilizan desde antiguo para memorizar las reglas de la conversión entre proposiciones:

Simpliciter fEcI convertitur; EvA per accidens;
AstO per contra. Sic fit conversio tota.

Equivalencia.

Es la igualdad de significación a que pueden reducirse dos proposiciones opuestas por la diferente colocación de la negación.

También hay un verso para memorizar las diferentes equivalencias posibles:

Prae contradic.: pos contra.: praepostque subalter.

Lo que significa que:

1.- Las contradictorias se vuelven equivalentes anteponiendo a una de ellas la negación (prae contradic.): Sean las siguientes proposiciones contradictorias:

Todos los canguros son marsupiales,
Algún canguro no es marsupial,

que se hacen equivalentes anteponiéndoles la negación:

No todo canguro es marsupial,
Algún canguro no es marsupial,

o bien:

Todo canguro es marsupial,
No (es verdad que) algún canguro es marsupial.

2.- Las contrarias se hacen equivalentes posponiendo la negación al sujeto de cualquiera de ellas (pos contra.). Sean las contrarias:

Todo canguro es marsupial,
Ningún canguro es marsupial,

que se hacen equivalentes:

Todo canguro es no marsupial,
Ningún canguro es marsupial,

o bien:

Todo canguro es marsupial,
Ningún canguro no es marsupial (ningún canguro existe que no sea marsupial).

3.- Las subalternas se hacen equivalentes anteponiendo y posponiendo la negación al sujeto de cualquiera de ellas (praepostque subalter.). Sean las subalternas:

Todo canguro es marsupial,
Algún canguro es marsupial,

que se hacen equivalentes diciendo:

No todo canguro es no marsupial,
Algún canguro es marsupial,

o bien:

Todo canguro es marsupial,
No algún canguro no es marsupial (no es cierto que algún canguro no sea marsupial).

4.- Las subcontrarias no pueden hacerse equivalentes.

Esta teoría de la equivalencia también tiene sus versos latinos para mejor memorizarla. Allá van:

Non omnis, quidam non: omnis non quasi nullus.
Non nullus, quidam: sed nullus non valet omnis.
Non aliquis, nullus: non quidam non valet omnis.
Non alter neuter: neuter non praestat uterque.

La teoría de las equivalencias es útil para conducir a un adversario a una concesión que le repugna por una serie de proposiciones que se ve obligado a admitir, pues serán equivalentes a la primera que admitió. También puede suceder que una primera proposición negada se desenvuelva en una serie de equivalentes de una evidencia irrecusable, para de esta manera obligar a alguien a admitir aquélla o a contradecirse.

De la relación de las proposiciones opuestas, convertibles y equivalentes nace la posibilidad de pasar inmediatamente de una proposición a otra por un razonamiento directo, que Kant llamó raciocinio del entendimiento.

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