Un dilema

En el número 200 de la revista Pensamiento (páginas 283 y 284 del volumen 51, publicada en 1.995) cuenta Jon Pérez Laraudogoitia que un profesor de lógica  puso en cierta ocasión a sus alumnos un examen que les obligaba a responder si eran o no verdaderos unos enunciados que en él aparecían; que uno de tales enunciados era el siguiente: “el artículo de Gödel ‘Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-Kalküls’ en el ‘Monatshefte für Mathematik und Physik’ de 1930 terminaba en la página 361”; que, como era de esperar, los alumnos tardaron menos tiempo en manifestar su protesta del que habían empleado en leerlo; y que, con el fin de proporcionarles alguna aclaración que fuera acorde con sus conocimientos, añadió este otro: “si la respuesta correcta para el enunciado anterior es V (verdadero) entonces la respuesta correcta para éste es F (falso)”, no sin antes recordarles que todo enunciado de la lógica es apofántico, es decir, verdadero o falso, lo que no sirvió para evitar que la respuesta de los alumnos fuera más ruidosa todavía que la de la vez anterior.

Solamente hubo uno que, no dejándose arrastrar de la corriente y la imprudencia, razonó más o menos del siguiente modo:

“Si el primer enunciado -“el artículo de Gödel ‘Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-Kalküls’ en el ‘Monatshefte für Mathematik und Physik’ de 1930 terminaba en la página 361”- es verdadero, entonces habrá de ser también verdadero el antecedente del segundo -“si la respuesta correcta para el enunciado anterior es V (verdadero) entonces la respuesta correcta para éste es F (falso)”.

Pero si el antecedente es verdadero entonces hay que admitir que es falso el enunciado condicional completo, pues para que éste fuera verdadero tendría que serlo también su consecuente, lo que es absurdo, dado que en ese caso se estaría afirmando simultáneamente que lo mismo es falso y verdadero.

Por otro lado, si el enunciado “si la respuesta correcta para el enunciado anterior es V (verdadero) entonces la respuesta correcta para éste es F (falso)” fuera falso, su consecuente también lo sería necesariamente, puesto que no puede haber un condicional falso cuyos antecedente y consecuente sean a la vez verdaderos.

Mas si fuera falso el consecuente en cuestión habría que concluir que el enunciado completo -“si la respuesta correcta para el enunciado anterior es V (verdadero) entonces la respuesta correcta para éste es F (falso)”- es verdadero. Basta leer dicho consecuente para estar de acuerdo en esto.

En conclusión, no es posible que el enunciado primero -“el artículo de Gödel ‘Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionen-Kalküls’ en el ‘Monatshefte für Mathematik und Physik’ de 1930 terminaba en la página 361”- sea verdadero y, en consecuencia, dicho artículo no puede acabar en la página 361”.

El profesor Laraudogoitia acaba la narración de este singular caso diciendo que la realidad no desmintió esta vez a la lógica, pues cuando el alumno consultó días más tarde el ‘Monatshefte für Mathematik und Physik’ de 1930 vio que el escrito de Gödel acababa en la página 360.

Menos dotado seguramente para el razonamiento que aquel sagaz muchacho, procuré sin embargo resolver por mí mismo el problema simplificando el contenido de los enunciados, lo que, según creí, no constituía un obstáculo alguno para obtener el mismo resultado final, pues debía bastar con que fueran apofánticos y expresaran adecuadamente las relaciones lógicas habidas entre ellos.

En lugar del primer enunciado, de tan marcada apariencia teutónica, yo utilicé este otro:

“Son las tres”.

Y, como no podía ser de otro modo, sustituí el segundo por el siguiente:

“Si son las tres este enunciado condicional que ahora escribo es falso”.

A continuación debía probar la verdad o falsedad del primero, para lo cual, teniendo en cuenta que todos los enunciados de la lógica son apofánticos, acepté como una verdad incontestable que tenía que ser verdadero o falso, lo que no tenía otra representación que la siguiente:

“Son las tres o no son las tres”.

Y respeté la forma del segundo:

“Si son las tres este enunciado condicional que ahora mismo escribo es falso”.

Puesto que el consecuente de este último condicional no era en realidad un enunciado simple, sino compuesto, ya que se trataba a su vez de un condicional, me sentí autorizado a desarrollarlo del siguiente modo:

“Si son las tres entonces no es verdad que si son las tres no es verdadero este condicional que ahora mismo escribo”.

Noté que me hallaba en posesión de tres sólidas premisas con las que seguramente podría construir una deducción igualmente sólida y que tal deducción podría adquirir además la forma de un sillogismus cornutus, de un dilema. Seguí razonando:

“Supondré por un instante que es verdadera la primera alternativa de la disyunción, a saber, que son las tres, de lo que se tendrá que seguir de inmediato la falsedad del condicional de referencia y, por tanto, la verdad de su antecedente y la falsedad de su consecuente, porque así lo dicta el arte de la lógica. Sin embargo, el mencionado consecuente afirma que el condicional del cual es parte es falso… Luego éste habrá de ser verdadero, por lo que su antecedente no puede ser verdadero y su consecuente falso, debido a que incurriría en una contradicción manifiesta. Compruebo así que no hay otra salida que admitir que no son las tres, pues esta contradicción brota de la suposición de que sí lo son. Ex contradictione quodlibet.

Si supongo ahora que no son las tres será solamente para llegar a la misma conclusión, porque, una vez aceptada, siquiera sea provisionalmente, esta verdad, no puedo después suponer la negación de la misma, so pena de incurrir en otra contradicción. Luego no son las tres.

En conclusión: ambas opciones conducen a lo mismo: que no son las tres”.

 

En otras palabras:

 

Al llegar aquí miré el reloj. Eran las tres. Me pareció que aquel diminuto artilugio eléctrico prendido en mi muñeca se burlaba de mis desvelos: ¿por qué la realidad dio a aquel alumno la constatación que a mí me negaba?

No pude evitar que al cansancio de la hora tardía se añadiera un sentimiento levemente amargo de frustración. Un instante después, mientras subía al dormitorio, me iba prometiendo no emular hazañas ajenas. Pero, al tiempo que sentía esta desazón y formulaba este propósito, me venía a la memoria la definición de verdad de Tarski: “‘La nieve es blanca’ es verdadero si y sólo si la nieve es blanca”. Mi sueño, más misericordioso que mi vigilia, me confortó aquella noche con la imagen de un bello paisaje nevado y no me forzó a pensar si el sueño mismo era verdadero o falso.

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